"Закон золотого деления должен быть диалектической необходимостью"
Академик А.Ф.Лосев

Феномен золотого сечения известен человечеству очень давно.

Его тайну пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса.
Классическими проявлениями золотого сечения являются предметы обихода, скульптура и архитектура [1, 2, 3, 4, 5], математика [6, 7, 8], музыка [9 10, 11] и эстетика [12, 13, 14, 15, 16]. В предыдущем столетии с расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология [17, 18, 19], экономика [20, 21], психология [22, 23, 24], кибернетика [7, 25], теория сложных систем [26, 27], и даже геология [28, 29] и астрономия [30].

Ежегодно издаются несколько книг посвященных этой проблеме, постоянно расширяя область приложения золотого сечения. Авторы этих исследований связывают золотое сечение с такими несовместимыми, на первый взгляд понятиями, как красота, асимметрия, рекурсия, самоорганизация и пропорция. За последние годы появились интересные интернет-сайты [31, 32, 33] посвященные золотому сечению.
По глубокому убеждению автора, живая природа построена на простых принципах и может быть описана элементарными моделями. В этой статье автор сделает попытку системного анализа феномена золотого сечения и выскажет несколько предположений, позволяющих объяснить всеобщий характер золотой пропорции.

Рис. 1

Решение задачи сводится к уравнению X^2+X-1=0,

одно из решений которого равно = 0.6180339..,                (1)

обратная величина которого обычно обозначается как α ==1.6180339..,
называемое основанием золотой пропорции.

Число α обладает уникальными математическими свойствами. Это единственное число, кроме нуля, удовлетворяющее рекуррентному соотношению:

               (2)

Основание золотой пропорции обладает одновременно свойствами аддитивности и мультипликативности.
Весь окружающий мир можно разделить с точки зрения формообразования на две группы - то, что создано руками человека и то, что мы называем природой.

Наличие золотой пропорции в формах объектов, созданных человечеством можно объяснить на основе анализа следующих исследований:
— Опыты Фехнера [22], в которых испытуемым было предложено выбрать самый "красивый" прямоугольник из серии от квадрата до двойного квадрата. Подавляющее большинство указало на прямоугольник с отношением сторон α. Это объясняется строением глазного дна человека. Поле ясного зрения имеет форму эллипса, оси которого относятся как α [13], поэтому предметы, в форме которых содержится золотая пропорция, воспринимаются «благоприятно». Не напрасно всеми нами любимые экраны TV и кредитные карточки имеют соотношение длины и ширины равное золотой пропорции [34].
— А.А.Соколов и Я.А.Соколов, в статье "Математические закономерности электрических колебаний мозга" [23], показали, что соотношение частот волн (ритмов) электрических колебаний мозга равно золотой пропорции.
— В статье И.А.Рыбина "Психофизика: поиск новых подходов" [35] на основании экспериментальных данных показано, что число α - инвариант психофизических законов, описывающих сенсорные восприятия человека.
— В исследованиях Цейзинга [36], Хембиджа [4], Дочи [18], Петухова [17], Шапаренко [37 ] показано наличие золотой пропорции в отношении частей тела человека (рис 2), в частности руки.

Рис. 2 Можно сказать, что человек всегда имеет эталон золотой пропорции "под рукой". Предположение 1 В произведениях человека (архитектурные сооружения, предметы искусства и быта) золотое сечение является отображением окружающего мира через цепочку глаз-мозг-рука. Каждый из элементов этой цепочки содержит золотую пропорцию в своей внутренней структуре. В процессе созидания происходит трехкратный "резонанс" золотого сечения по цепочке глаз-мозг-рука. Очевидно, в результате будет создан объект содержащий золотую пропорцию.

Loading...

4. Самоподобность и асимметрия

Предположение 2

В основе организации живой материи лежат принципы устойчивости, самоорганизации и саморегулирования. В формообразовании эти принципы проявляются как самоподобность. Самоподобность, мы будем понимать, как некоторую рекурсивную процедуру, порождающую связанную систему объектов.
Ярким примером таких систем являются фракталы [38], получаемые как рекурсивные геометрические преобразования. Многие объекты живой природы имеют ярко выраженную фрактальную структуру. Например: деревья, морская капуста, легкие и кровеносные сосуды человека, и другие.

Рассмотрим геометрическую аналогию самоподобности – «динамический» прямоугольник с отношением сторон равным α. Самоподобность выражается в том, что присоединяя к большей стороне «динамического» прямоугольника ABCD (рис 3) квадрат DCFE со стороной, равной этой стороне, получим прямоугольник ABFE , подобный первоначальному. Аналогично, если отсечь от «динамического» прямоугольника ABCD квадрат AMND , то получим прямоугольник MBCN подобный «динамическому». Нетрудно доказать, что «динамический» прямоугольник может иметь соотношение сторон только равное α.

Рис. 3

В математике хорошо известна последовательность чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,..., называемая числами Фибоначчи и образуемая по рекуррентной формуле:
                (4)
где n - натуральное число и начальные члены равны 1 и 1.

Ярким примером проявления чисел Фибоначчи в живой природе является филлотаксис [19].Французский математик Бине показал, как связаны числа Фибоначчи и основание золотой пропорции:
               (5)
Эта формула интересна тем, что справа находятся иррациональные числа α и , а слева всегда целое. Нужно отметить асимметричность знаменателя правой части формулы 5. Из последней формулы легко получить следующее соотношение :
               (6)
которое вместе с формулами 2, 4 и 5 показывает глубокую связь между числами Фибоначчи и основанием золотой пропорции. В формулах 1, 3, 5 можно заметить почти «мистическое» присутствие числа 5.
Если в рекурсивной последовательности образуемой по формуле 4, задать произвольные начальные члены, то предел отношения двух соседних членов этого ряда все равно будет стремиться к α (формула 6). Даже некоторое количество арифметических ошибок в вычислении φ_i при 1<i<<n, не повлияют на этот результат.
Основание золотой пропорции является инвариантом рекурсивных соотношений 4 и 6. В этом проявляется «устойчивость» золотого сечения, одного из принципов организации живой материи
(см. Предположение 2).
Так же, основание золотой пропорции является решением двух экзотических рекурсивных последовательностей

Присутствие золотой пропорции и чисел Фибоначчи в живой природе позволяют говорить о некотором едином механизме их возникновения.

Предположение 4

Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. На микроуровне (целочисленном) количественная характеристика этого процесса проявляется как числа Фибоначчи, а на макроуровне (статистическом) как основание золотой пропорции - число α.
Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека и животных, а также явление филлотаксиса.

В биологии существует понятие, называемое асинхронным делением (дроблением). В монографии К.Г. Газаряна и Л.В. Белоусова "Биология индивидуального развития животных" [42] автор нашел: "Начиная с 11-го деления, дробление становится повсеместно асинхронным", там же, "В яйцах многих групп животных - круглых червей, некоторых моллюсков, млекопитающих - периода синхронных делений нет: начиная со 2-го деления, дробление идет асинхронно".

Предположение 5

При асинхронном делении каждая клетка делится на две клетки, одна из которых пропускает следующий такт деления. Для краткости, такой формообразующий процесс будем называть F-делением.

Рассмотрим количественные характеристики F-деления. После определенного количества синхронных делений происходят исключительно F-деления. Так после первого такта F-деления образуются две клетки А и В (рис 5), из которых только В будет делиться во втором такте. После двух тактов F-деления образуются три клетки, из которых только две будут делиться в третьем такте. После третьего такта суммарное количество клеток станет равным пяти, из которых три будут делиться в четвертом такте F-деления и т.д. Следовательно, в процессе F-деления из одной клетки будет образовываться 2,3,5,8,13,21,.. клеток.

Рис. 5

Гипотеза о F-делении клеток позволяет объяснить наличие золотой пропорции в результатах исследований из раздела 3, сердечных ритмах человека [43, 44], а также в линейных размерах тела человека, например руки (Рис. 2).
Пусть на определенном этапе развития зародыша, после периода синхронных делений, выделится одна клетка из которой будет развиваться рука. После первого F-деления образуются две клетки А и В (рис 5). Клетка А пропустит следующий такт деления, следовательно, ее потомков будет в ? раз меньше клеток потомков В. Действительно, как видно из рисунка 1 отношение длины кисти и локтя к предплечью есть золотое сечение. Принимая длину, пропорциональной количеству клеток, получаем, что из клетки А будет развиваться предплечье, а из В кисть и локоть. Аналогично после деления В, из образовавшихся дочерних клеток, будут развиваться локоть и кисть, и т.д. до фаланг пальцев на руке.
Граф на рисунке 5 не является оригинальным, похожие рисунки можно увидеть при решении задач о росте деревьев, размножении кроликов и пчел [45], а также на предложенной британским эмбриологом C. H. Waddington [46] схеме прогрессивного назначения эмбриональных клеток.

Нетрудно заметить, что Граф на рисунке 5 является фрактальной структурой.

Предположение 7

Уникальный потенциал клетки в морфогенетическом поле эмбриона является запускающим механизмом считывания генетической программы.
В результате выполнения этой программы происходит дифференциация клеток эмбриона на различные ткани и части тела

Предположение 8

Асимметричность F-деления позволяет каждой клетке зародыша обладать уникальным потенциалом в морфогенетическом поле.
Гипотеза о F-делении описывает наиболее общий алгоритм развития организма и дает объяснение устойчивому присутствию золотой пропорции в морфологических процессах живой природы.

Предположение 10

Асимметричность морфологических процессов является источником внутреннего противоречия, необходимым условием возникновения и существования самоорганизующихся систем.
В F-делении клеток с одной стороны, присутствует симметрия - каждая клетка делится на две, с другой стороны, после деления клетки не равноправны - асимметрия.
Симметрия и асимметрия являются диалектическими противоположностями.

Предположение 11

Диалектическое противоречие между симметрией и асимметрией является движущей силой саморегуляции.
Гегель писал: «Противоречие - корень всего движения и живучести» [48]. Перефразируя известный философский закон «О Единстве Противоположностей», получим закон «О Единстве Симметрии и Асимметрии».
Белорусский философ Э.М.Сороко высказал предположение, что «сочетание симметрии и асимметрии в определенной пропорции и есть гармония» [26].

Воображаемый диалог между заинтересованным читателем и автором.

ЧИТАТЕЛЬ
А, в чем состоит «тайна» золотого сечения ?

АВТОР
Золотое сечение является одним из проявлений асимметрии живой природы. Вместе с числами фибоначчи оно является одной из ступеней пирамиды формообразования. А на вершине этой пирамиды находится еще более загадочное число, но это тема моей будущей книги.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
На основе известных данных вы делаете необычные выводы, объясняя разнообразные явления с помощью принципа асимметрии.

АВТОР
По моему глубокому убеждению живая природа построена на очень простых и универсальных законах. И если мы до определенного момента не осмыслили их, то это наша вина, а не природы.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
Гипотеза о F-делении клеток выглядит не реальной. Если бы деление клеток происходило по фибоначчиевому алгоритму, это было бы уже давно известно.

АВТОР
Действительно, эта идея кажется интригующей, однако я не нашел ни одного количественного описания асинхронного деления. Теперь, когда биологи знают, что нужно искать, мы скоро получим независимые подтверждения.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
Не кажется ли вам, что идеи в статье изложены очень кратко и читателю тяжело быстро перескакивать от математики к биологии и дальше к философии?

АВТОР
Я сознательно ограничил объем статьи так, чтобы читатель обязательно прочитал ее до конца. Сейчас я пишу книгу, в которой проведу широкий анализ источников и детальное обоснование сделанных в статье предположений.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
А как насчет стиля будущей книги? Статья написана несколько сухим стилем.

АВТОР
Я стараюсь писать книгу так, что бы она была интересна широкому кругу читателей, и в то же время оставалась научным трудом.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
В будущей книге вы ограничитесь идеями изложенными в этой статье?

АВТОР
У меня есть идеи не вошедшие в статью по различным причинам. Это :

- гиперболические фибоначчиевые функции,

- синусообразные функции золотого сечения,

- пентагональная симметрии в теле человека

- что является главным и последним пунктом цепочки формообразующего процесса
числа фибоначчи -> золотое сечение -> ???

- и почему золотое сечение является оптимальным кодом живой природы
http://www.goldensection.net/gs_r.htm